初中數學培優提高中位線及其應用

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中位線及其應用

   中位線是三角形與梯形中的一條重要線段,由于它的性質與線段的中點及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用.

  例1 如圖2-53所示.△ABC中,AD⊥BC于D,E,F,△ABC的面積.

  分析 由條件知,EF,EG分別是三角形ABD和三角形ABC的中位線.利用中位線的性質及條件中所給出的數量關系,不難求出△ABC的高AD及底邊BC的長.

  解 由已知,E,F分別是AB,BD的中點,所以,EF是△ABD的一條中位線,所以

  由條件AD+EF=12(厘米)得

EF=4(厘米),

  從而 AD=8(厘米),

  由于E,G分別是AB,AC的中點,所以EG是△ABC的一條中位線,所以

BC=2EG=2×6=12(厘米),

  顯然,AD是BC上的高,所以

  例2 如圖 2-54 所示.△ABC中,∠B,∠C的平分線BE,CF相交于O,AG⊥BE于G,AH⊥CF于H.

  (1)求證:GH∥BC;

  (2)若AB=9厘米,AC=14厘米,BC=18厘米,求GH.

  分析 若延長AG,設延長線交BC于M.由角平分線的對稱性可以證明△ABG≌△MBG,從而G是AM的中點;同樣,延長AH交BC于N,H是AN的中點,從而GH就是△AMN的中位線,所以GH∥BC,進而,利用△ABC的三邊長可求出GH的長度.

  (1)證 分別延長AG,AH交BC于M,N,在△ABM中,由已知,BG平分∠ABM,BG⊥AM,所以

△ABG≌△MBG(ASA).

  從而,G是AM的中點.同理可證

△ACH≌△NCH(ASA),

  從而,H是AN的中點.所以GH是△AMN的中位線,從而,HG∥MN,即

HG∥BC.

  (2)解 由(1)知,△ABG≌△MBG及△ACH≌△NCH,所以

AB=BM=9厘米,AC=CN=14厘米.

  又BC=18厘米,所以

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