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概率論與數理統計答案

第一章 隨機事件與概率

習題1-1 隨機事件與運算

1. 寫出下列隨機實驗的樣本空間Ω與隨機事件A

(1) 拋擲三枚均勻的硬幣;事件A=“至少兩枚硬幣是正面朝上”;

(2) 對一密碼進行破譯,記錄破譯成功時總的破譯次數,事件A=“總次數不超過8次”

(3) 從一批手機中隨機選取一個,測試它的電池使用時間長度;事件A=“使用時間在

72到108小時之間”

答案:(1)記正面為T ,反面為F

Ω={TTT TTF TFT FTT FTF TFF FFT FFF },A={TTT TTF TFT FTT }

(2)Ω={1,2,3,...} A={1,2, (8)

(3)Ω={t :t ≥0} A={t :72≤t ≤108}

2.拋擲兩枚均勻骰子,觀察它們出現的面。

(1)試寫出該試驗的樣本空間Ω

(2)試寫出下列事件所包含的樣本點:A=“兩枚骰子上的點數相等”,B=“兩枚骰子上的點數之和等于8”

答案:(1)Ω={(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)}

(2)A={(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)}

B={(2,6)(3,5)(4,4)(5,3)(6,2)}

3.在以原點為圓心的一單位圓內隨機取一點。

(1)試描述該試驗的樣本空間Ω

(2)試描述下列事件所包含的樣本點:A=“所取得的點與圓心的距離小于0.5”,B=“所取得的點與圓心的距離小于0.5且大于0.3”

答案:(1)Ω={(x,y ):-1<x <1,x 2+y 2<1}

(2)A={(x,y ):-0.5<x <0.5,x 2+y 2<0.25}

B={(x,y ):0.3<|x|<0.5,0.09<x 2+y 2<0.25}

4.袋中有10個球,分別編有號碼1~10,從中任取一球,設A=“取得球的號碼是偶數”,B=“取得球的號碼是奇數”,C=“取得球的號碼小于5”,問下列運算表示什么事件:

(1)A ∪B ;(2)AB ;(3)AC ;(4)AC ????;(5)A ∩C ;(6)B ∪C ???????;(7)A-C

答案:Ω= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 }

(1) A ∪C=Ω

(2) AB= ?

(3)

AC=“取得球的號碼是小于5的偶數”= {2,4 }; (4)

AC ????=“取得球的號碼是奇數或是大于5的偶數”= {1,3,5,6,7,8,9,10 } (5) A ∩C =“取得球的號碼是大于等于5的奇數”={5,7,9}

(6) B ∪C ???????=“取得球的號碼是大于5的偶數”={6,8,10}

(7) A ?C =“取得球的號碼是大于5的偶數”={6,8,10}

5.在區間[0,10]上任取一數,記A={x :1<x ≤5},B={x :2≤x ≤6},求下列事件的表達式

(1)A ∪B (2)A B (3)A B

?(4)A ∪B ? 答案:依題意知Ω={x :0≤x ≤10}

(1) A ∪B= {x :1<x ≤6 }

(2) A B={x :5<x ≤6 }

(3) A B

?= {x :1<x <2 } (4) A ∪B

?= {x :0≤x ≤5 }∪{x :6<x ≤10 } 6.一批產品中有合格品和廢品,從中有放回地抽取三個產品,設事件A i =“第i 次抽到廢品”,試用A i 的運算表示下列各個事件

(1)第一次、第二次中至少有一次抽到廢品

(2)只有第一次抽到廢品

(3)三次都抽到廢品

(4)至少有一次抽到合格品

(5)只有兩次抽到廢品

答案:(1)A 1∪A 2(2)A 1A 2???A 3???(3)A 1A 2A 3(4)A 1A 2A 3??????????(5)A 1A 2A 3???∪A 1A 2???A 3∪

A 1???A 2A 3

7.試給出下列事件的對立事件

(1)事件A=“三門課程的考核成績都為優秀”;

(2)事件B=“三門課程的考核成績至少有一門為優秀”

答案:(1)A =“三門課程的考核成績不都是優秀”;

(2)B

?=“三門課程的考核成績都不是優秀” 8.證明下列等式

(1)B=AB ∪A B

(2)A ∪B=A ∪A B

證明:(1)B=Ω∪B=(A ∪A )∪B=AB ∪A B

(2)A ∪B=A ∪(B-A )=A ∪A B

劉若英給陳升新書的序言.txt

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