初中數學培優提高相似三角形

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相似三角形

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相似三角形

兩個形狀相同的圖形稱為相似圖形,最基本的相似圖形是相似三角形.對應角相等、對應 邊成比例的三角形,叫作相似三角形.相似比為 1 的兩個相似三角形是全等三角形.因此,三 角形全等是相似的特殊情況,而三角形相似是三角形全等的發展,兩者在判定方法及性質方面 有許多類似之處.因此,在研究三角形相似問題時,我們應該注意借鑒全等三角形的有關定理 及方法.當然,我們又必須同時注意它們之間的區別,這里,要特別注意的是比例線段在研究 相似圖形中的作用.

關于相似三角形問題的研究,我們擬分兩講來講述.本講著重探討相似三角形與比例線段 的有關計算與證明問題;

下一講深入研究相似三角形的進一步應用.

例 1 如圖 2-64 所示,已知 AB∥EF∥CD,若 AB=6 厘米,CD=9 厘米.求 EF. 分析 由于 BC 是△ABC 與△DBC 的公共邊,且 AB∥EF∥CD,利用平行線分三角形成相似三 角形的定理,可求 EF. 解 在△ABC 中,因為 EF∥AB,所以

同樣,在△DBC 中有

①+②得

設 EF=x 厘米,又已知 AB=6 厘米,CD=9 厘米,代入③得

說明 由證明過程我們發現,本題可以有以下一般結論:“如本題

請同學自己證明. 例 2 如圖 2-65 所示. ABCD 的對角線交于 O,OE 交 BC 于 E,交 AB 的延長線于 F.若 AB=a,BC=b,BF=c,求 BE. 分析 本題所給出的已知長的線段 AB,BC,BF 位置分散,應設法利用平行四邊形中的等量 關系,通過輔助線將長度已知的線段“集中”到一個可解的圖形中來,為此,過 O 作 OG∥BC, 交 AB 于 G,構造出△FEB∽△FOG,進而求解. 解 過 O 作 OG∥BC,交 AB 于 G.顯然,OG 是△ABC 的中位線, 所以

在△FOG 中,由于 GO∥EB,所以

例 3 如圖 2-66 所示.在△ABC 中,∠BAC=120°,AD 平分

分析 因為 AD 平分∠BAC(=120°),所以∠BAD= ∠EAD=60°.若引 DE∥AB,交 AC 于 E,則 △ADE 為正三角形,從而 AE=DE=AD,利用△CED∽△CAB,可實現求證的目標.

證 過 D 引 DE∥AB,交 AC 于 E.因為 AD 是∠BAC 的平分線,∠BAC=120°,所以 ∠BAD=∠CAD=60°.

又 ∠BAD=∠EDA=60°,

所以△ADE 是正三角形,所以 EA=ED=AD. ① 由于 DE∥AB,所以△CED∽△CAB,所以

由①,②得

從而

例 4 如圖 2-67 所示. ABCD 中,AC 與 BD 交于 O 點,E 為 AD 延長線上一點,OE 交 CD 于 F,EO 延長線交 AB 于 G.求證:

分析 與例 2 類似,求證中諸線段的位置過于“分散”,因此,應利用平行四邊形的性質, 通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證.

證 延長 CB 與 EG,其延長線交于 H,如虛線所示,構造平行四邊形 AIHB.在△EIH 中,由 于 DF∥IH,所以

在△OED 與△OBH 中, ∠DOE=∠BOH,∠OED=∠OHB,OD=OB,

所以 △OED≌△OBH(AAS). 從而

DE=BH=AI,

例 5(梅內勞斯定理) 一條直線與三角形 ABC 的三邊 BC,CA,AB(或其延長線)分別交于 D, E,F(如圖 2-68 所示).求

分析 設法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證. 證 過 B 引 BG∥EF,交 AC 于 G.由平行線截線段成比例性質知

說明 本題也可過 C 引 CG∥EF 交 AB 延長線于 G,將求證中所述諸線段“集中”到邊 AB 所 在直線上進行求證.

例 6 如圖 2-69 所示.P 為△ABC 內一點,過 P 點作線段 DE,FG,HI 分別平行于 AB,BC 和 CA,且 DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425.求 d.

分析 由于圖中平行線段甚多,因而產生諸多相似三角形及平行四邊形.利用相似三角形對 應邊成比例的性質及平行四邊形對邊相等的性質,首先得到一個一般關系:

進而求 d.

因為 FG∥BC,HI∥CA,ED∥AB,易知,四邊形 AIPE,BDPF,CGPH 均是平行四邊形.△BHI ∽△AFG∽△ABC,從而

將②代入①左端得

因為 DE=PE+PD=AI+FB, ④

AF=AI+FI, ⑤ BI=IF+FB. ⑥ 由④,⑤,⑥知,③的分子為

DE+AF+BI=2×(AI+IF+FB)=2AB. 從而

下面計算 d. 因為 DE=FG=HI=d,AB=510,BC=450,CA=425,代入①得

解得 d=306. 例 6 如圖 2-76 所示.△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分線.求證:AB∶AC=BD∶DC.

分析 設法通過添輔助線構造相似三角形,這里應注意利用角平分線產生等角的 條件.

證 過 B 引 BE∥AC,且與 AD 的延長線交于 E.因為 AD 平分∠BAC,所以∠1=∠2.又 因為 BE∥AC,所以

∠2=∠3. 從而∠1=∠3,AB=BE.顯然

△BDE∽△CDA, 所以 BE∶AC=BD∶DC, 所以 AB∶AC=BD∶DC. 說明 這個例題在解決相似三角形有關問題中,常起重要作用,可當作一個定理使用.類似的

還有一個關于三角形外角分三角形的邊成比例的命題,這個命題將在練習中出現,請同學們 自己試證. 在構造相似三角形的方法中,利用平行線的性質(如內錯角相等、同位角相等),將等角“轉移” 到合適的位置,形成相似三角形是一種常用的方法. 例 7 如圖 2-77 所示.在△ABC 中,AM 是 BC 邊上的中線,AE 平分∠BAC,BD⊥AE 的延長線于 D, 且交 AM 延長線于 F.求證:EF∥AB. 分析 利用角平分線分三角形中線段成比例的性質,構造三角形,設法證明 △MEF∽△MAB,從而 EF∥AB. 證 過 B 引 BG∥AC 交 AE 的延長線于 G,交 AM 的延長線于 H.因為 AE 是∠ BAC 的平分線,所以

∠BAE=∠CAE. 因為 BG∥AC,所以

∠CAE=∠G,∠BAE=∠G, 所以 BA=BG.

又 BD⊥AG,所以△ABG 是等腰三角形,所以 ∠ABF=∠HBF,

從而 AB∶BH=AF∶FH.

又 M 是 BC 邊的中點,且 BH∥AC,易知 ABHC 是平行四邊形,從而 BH=AC,

所以 AB∶AC=AF∶FH. 因為 AE 是△ABC 中∠BAC 的平分線,所以 AB∶AC=BE∶EC, 所以 AF∶FH=BE∶EC, 即 (AM+MF)∶(AM-MF)=(BM+ME)∶(BM-ME)(這是因為 ABHC 是平行四邊形,所以 AM=MH 及 BM=MC.).由

合分比定理,上式變為 AM∶MB=FM∶ME.

在△MEF 與△MAB 中,∠EMF=∠AMB,所以 △MEF∽△MAB

(兩個三角形兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似.).所以 ∠ABM=∠FEM,

所以 EF∥AB. 例 8 如圖 2-78 所示.在△ABC 中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4.

即可,為此若能設法利用長度分別為 AB,BC,CA 及 l=AB+AC 這 4 條線段,構造一對相似三角 形,問題可能解決.

注意到,原△ABC 中,已含上述 4 條線段中的三條,因此,不妨以原三角形 ABC 為基礎添加輔 助線,構造一個三角形,使它與△ABC 相似,期望能解決問題.

證 延長 AB 至 D,使 BD=AC(此時,AD=AB+AC),又延長 BC 至 E,使 AE=AC,連結 ED.下面證明, △ADE∽△ABC.

設∠A=α ,∠B=2α ,∠C=4α ,則 ∠A+∠B+∠C=7α =180°.

由作圖知,∠ACB 是等腰三角形 ACE 的外角,所以 ∠ACE=180°-4α =3α ,

所以 ∠CAE=180°-3α -3α =7α -6α =α . 從而

∠EAB=2α =∠EBA,AE=BE.

又由作圖 AE=AC,AE=BD,

所以 BE=BD, △BDE 是等腰三角形,所以

∠D=∠BED=α =∠CAB, 所以 △ABC∽△DAE,

所以

例 9 如圖 2-79 所示.P,Q 分別是正方形 ABCD 的邊 AB, BC 上的點,且 BP=BQ,BH⊥PC 于 H.求 證:QH⊥DH.

分析 要證 QH⊥DH,只要證明∠BHQ=∠CHD.由于△PBC 是直角三角形,且 BH⊥PC,熟知∠PBH= ∠PCB,從而∠HBQ=∠HCD,因而△BHQ 與△DHC 應該相似.

證 在 Rt△PBC 中,因為 BH⊥PC,所以 ∠PBC=∠PHB=90°,

從而 ∠PBH=∠PCB. 顯然,Rt△PBC∽Rt△BHC,所以

由已知,BP=BQ,BC=DC,所以

因為∠ABC=∠BCD=90°,所以 ∠HBQ=∠HCD,

所以 △HBQ∽△HCD,∠BHQ=∠DHC, ∠BHQ+∠QHC=∠DHC+∠QHC.

又因為 ∠BHQ+∠QHC=90°,

所以 ∠QHD=∠QHC+DHC=90°, 即 DH⊥HQ. 例 10 如圖 2-80 所示.P,Q 分別是 Rt△ABC 兩直角邊 AB,AC 上兩點,M 為斜邊 BC 的中點,且

PM⊥QM.求證: PB2+QC2=PM2+QM2.

分析與證明 若作 MD⊥AB 于 D,ME⊥AC 于 E,并連接 PQ,則 PM2+QM2=PQ2=AP2+AQ2.

于是求證式等價于

PB2+QC2=PA2+QA2, ①

等價于 PB2-PA2=QA2-QC2. ②

因為 M 是 BC 中點,且 MD∥AC,ME∥AB,所以 D,E 分別是 AB,AC 的中點,即有 AD=BD,AE=CE,

②等價于 (AD+PD)2-(AD-PD)2 =(AE+EQ)2-(AE-EQ)2, ③

③等價于 AD·PD=AE·EQ. ④

因為 ADME 是矩形,所以 AD=ME,AE=MD,

故④等價于

ME·PD=MD·EQ. ⑤ 為此,只要證明△MPD∽△MEQ 即可. 下面我們來證明這一點. 事實上,這兩個三角形都是直角三角形,因此,只要再證明有一對銳角相等即可.由于 ADME

為矩形,所以 ∠DME=90°=∠PMQ(已知). ⑥

在⑥的兩邊都減去一個公共角∠PME,所得差角相等,即 ∠PMD=∠QME. ⑦

由⑥,⑦,所以 △MPD∽△MEQ.

由此⑤成立,自⑤逆上,步步均可逆推,從而①成立,則原命題獲證. 例 11 如圖 2-81 所示.△ABC 中,E,D 是 BC 邊上的兩個三等分點,AF=2CF,BF=12 厘米.求:

FM,MN,BN 的長.

解 取 AF 的中點 G,連接 DF,EG.由平行線等分線段定理的逆定理知 DF∥EG∥BA,所以 △CFD∽△CAB,△MFD∽△MBA.

所以 MB=3MF,從而 BF=4FM=12,所以 FM=3(厘米).

又在△BDF 中,E 是 BD 的中點,且 EH∥DF,所以 因為 EH∥AB,所以△NEH∽△NAB,從而

顯然,H 是 BF 的中點,所以

故所求的三條線段長分別為

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