含絕對值競賽題的求解策略

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含絕對值競賽題的求解策略

浙江上虞春暉中學 王啟東(312353)

有關含絕對值的試題,尤其是絕對值與不等式的綜合試題在各級各類數學競賽中頻頻出現,本文就此介紹一些常見的求解策略。

1、湊配的策略

該策略是根據題設條件或結論進行湊配,如:分組、添項、裂項等方法,以達到解決問題的目的。

例1、函數上連續,,且對任意不同的

都有,求證:

(1983年全國聯賽試題)

解: 上連續, 上有最大值和最小值。

不妨設最大值

(1)當時,|

即:

(2)當時,設即:

,同理可得:

對任意的,都有

2、裂項求和的策略

本策略是運用數列求和的方法,巧妙地拆項、裂項,再相互抵消,以達到化簡求解的目的。

例2、已知滿足

求證: (1989全國聯賽試題)

證明:設

,且

不妨設,則

于是

3、特殊化的策略

本策略的思想是從特殊的點、特殊的圖形、特殊的值出發,借以問題的部分與整體的內在聯系來考慮問題,以尋找解決問題的突破口。

例3、對實數,已知不等式無解,

求證: (第15屆全蘇數學奧林匹克試題)

證:取分別代入

得:

即:

例4.設f(x)和g(x)是定義在[0,1]上的函數,求證:存在,使,且。(第20屆美國數學競賽)

證明:如果對一切 [0,1] ,不成立,考慮在端點的特殊值得:

=+++

+++=1矛盾。即假設不成立。

原命題成立。

4.三角換元的策略

例5.已知a1,a2 ∈R,z1,z2是復數,

求證:

(1989《中學生數理化》征解題)

證:設,并設a1=Rcos,a2=Rsin

則原不等式等價為:

=

=

∴上述不等式化為:

即()+

而左邊

=

=

=

= ==右邊

原不等式成立。

5、反證的策略

正難則反,反證法是解決數學問題的常用策略,也是處理絕對值的強有力工具。

例6已知a,b,c均為實數,且a>100,證明最多有二個整數x,使。(1991年江蘇省數學夏令營試題)

證明:假設有三個不同的整數,滿足

則由抽屜原則中必有兩個同時大于(或同時小于

不妨設>,

均為整數,

a(+)+b2a+a+ba

從而=a>100

另一方面:

+50+50=100矛盾。

滿足條件的整數最多只有二個。

6、構造的策略

該策略通過構造某些函數、數列、復數等輔助量,然后利用輔助量的某些性質達到求解的目的。

例7、設a,b,x,yR,且=1,試證+

(《數學通報》1985年征解題)

證明:構造復數,設=ax+byi, =bx+ayi

+=+=

==

原不等式成立。

注:本題構造復數,將根號轉換為模,巧妙求解。

例8、已知f(x)=是一個n次復系數多項式,求證:一定存在一個復數并且滿足。(1994年中國數學冬令營試題)

證明:對于給定的多項式f(z),常數的輻角是確定的(當=0時,輻角可任意選取),所以可取一個與有相同輻角的復數,使

構造多項式f(z)- =-,

則方程f(z)- =0必有模小于或等于1的根,

否則設f(z)- =0的根(I=1,2,…n)的模都大于1,

那么由韋達定理有1===>1矛盾,

因此必有為f(z)- =0的模不大于1的根,即,使得結論成立。

7、數學歸納的策略

該策略通過抓住題設中與n有關的要點,然后應用數學歸納法加以證明。

例9、設n是正整數,證明:對所有實數x,

證明:用數學歸納法證明:

當n=0時,結論顯然成立。

當n=1時,如果那么結論成立。

如果,那么,即

從而,結論亦成立。

假設n=k-1,k時結論成立,則當n=k+1時如果,由歸納假設有如果,由n=1時及假設即n=k+1時,結論成立,對任意正整數n,題論結論成立。

例10.設函數f(x)對所有的有理數m,n都有

證明:對所有正整數k,有

(第12屆韓國數學奧林匹克試題)

證:當k=1時,左邊=右邊=0

k=2時,左邊===右邊

假設k=n時,結論成立,即:

++…++

成立

則當n=k+1時, =

n+

n

n1+=

即k=n+1時,結論成立。

原命題成立。

8.等分區間的策略

求策略的思想是根據已知條件作一恰當的區間,然后將其等分成若干個長度為某正數δ的小區間,使得問題涉及到的某兩個量α、β落在同一小區間內,從而得關鍵性結論|α-β|〈δ,而解決問題。

例11 設n個實數x1、x2、、、、、xn,滿足x12+x22+、、、+xn2=1

求證:對任意整數k≥2,存在n 個不全為零的整數 ai,|ai| ≤k-1(i=1、2,、、、,n)使得(第28屆IMO試題)

證:由柯西不等式:

把區間[0,]等分成份,每個小區間之長為

由于

所以一共有個數根據抽屜原則,總有兩個數:

落在同一區間內。

得證。

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