初中數學培優提高梯形

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梯形  與平行四邊形一樣,梯形也是一種特殊的四邊形,其中等腰梯形與直角梯形占有重要地位,本講就來研究它們的有關性質的應用.

  例1 如圖2-43所示.在直角三角形ABC中,E是斜邊AB上的中點,D是AC的中點,DF∥EC交BC延長線于F.求證:四邊形EBFD是等腰梯形.

  分析 因為E,D是三角形ABC邊AB,AC的中點,所以ED∥BF.此外,還要證明(1)EB=DF;(2)EB不平行于DF.

  證 因為E,D是△ABC的邊AB,AC的中點,所以

ED∥BF.

  又已知DF∥EC,所以ECFD是平行四邊形,所以

  EC=DF. ①

  又E是Rt△ABC斜邊AB上的中點,所以

  EC=EB. ②

  由①,②得:EB=DF.

  下面證明EB與DF不平行.

  若EB∥DF,由于EC∥DF,所以有EC∥EB,這與EC與EB交于E矛盾,所以EBDF.

  根據定義,EBFD是等腰梯形.

  例2 如圖2-44所示.ABCD是梯形, AD∥BC, AD<BC,AB=AC且AB⊥AC,BD=BC,AC,BD交于O.求∠BCD的度數.

  分析 由于△BCD是等腰三角形,若能確定頂點∠CBD的度數,則底角∠BCD可求.由等腰Rt△ABC可求知斜邊BC(即BD)的長.又梯形的高,即Rt△ABC斜邊上的中線也可求出.通過添輔助線可構造直角三角形,求出∠BCD的度數.

  解 過D作DE⊥EC于E,則DE的長度即為等腰Rt△ABC斜邊上的高AF.設AB=a,由于△ABF也是等腰直角三角形,由勾股定理知

AF2+BF2=AB2,

  即 

  

  又BC2=AB2+AC2=2AB2=2a2,

  由于BC=DB,所以,在Rt△BED中,

 

  

  從而∠EBD=30°(直角三角形中30°角的對邊等于斜邊一半定理的逆定理).在△CBD中,

  

 例3 如圖2-45所示.直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠ADC=135°,CD的垂直平分線交BC于N,交AB延長線于F,垂足為M.求證:AD=BF.

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