2018年全國數學聯賽貴州初賽試題

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2018年貴州省高中數學聯賽試題

班級: 姓名: 得分:

第Ⅰ卷(共60分)

一、選擇題:每小題6分,本大題共30分.

1.小王在文檔中設計好一張規格的表格,根據要求,這種規格的表格需要設計張,小王欲使用“復制——粘貼”(用鼠標選中表格,右鍵點擊“復制”,然后在本文檔中“粘貼”)的辦法滿足要求.請問:小王需要使用“復制——粘貼”的次數至少為( )

A.次 B.次 C.次 D.

2.已知一雙曲線的兩條漸近線方程為,則它的離心率是( )

A. B. C. D.

3.在空間直角坐標系中,已知,則到面、面、面、面的距離相等的點的個數是( )

A. B. C. D.無窮多

4.若圓柱被一平面所截,其截面橢圓的離心率為,則此截面與圓柱底面所成的銳二面角是( )

A. B. C. D.

5.已知等差數列,設,若對,有,則( )

A. B. C. D.

二、填空題(每小題6分,本大題共60分)

6.已知所在平面上一定點,動點滿足,其,則點的軌跡為 .

7.牛得亨先生、他的妹妹、他的兒子,還有他的女兒都是網球選手.這四人中有以下情況:①最佳選手的孿生同胞與最差選手性別不同;②最佳選手與最差選手年齡相同.則這四人中最佳選手是 .

8.方程組的實數解為 .

9.如圖,在中,點上,,則

10.函數的最小值是 .

11.若邊長為的正的三個頂點到平面的距離分別為,則的重心到平面的距離為 .

12.若實數使得不等式對任意實數恒成立,則實數的取值范圍 .

13.若方程有兩個不等實根,則實數的取值范圍是 .

14.順次連結圓與雙曲線的交點,得到一個凸四邊形.則此凸四邊形的面積為 .

15.函數的所有零點之和等于 .

三、解答題(每小題15分,本大題共60分)

16.已知函數,求該函數的值域.

17.已知橢圓的離心率,直線交于兩點,且.

(1)求橢圓的方程;

(2)過點的直線(斜率不為零)與橢圓交于不同的兩點在點之間),記,求的取值范圍.

18.證明:(1)

(2)分別以,…,,…為邊長的正方形能互不重疊地全部放入一個邊長為的正方形內.

19.已知梯形,邊分別為上、下底,且,對角線,過于點.

(1)證明:

(2)證明:.

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