物理競賽中的數學知識

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物理競賽中的數學知識

一、重要函數

1. 指數函數

2. 三角函數

3. 反三角函數

反正弦Arcsin x,反余弦Arccos x,反正切Arctan x,反余切Arccot x這些函數的統稱,各自表示其正弦、余弦、正切、余切為x的角。

二、數列、極限

1. 數列:按一定次序排列的一列數稱為數列,數列中的每一個數都叫做這個數列的項。排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱為這個數列的第2項……排在第n位的數稱為這個數列的第n項。

數列的一般形式可以寫成

  a1,a2,a3,…,an,a(n+1),…

簡記為{an},

通項公式:數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式表示,這個公式就叫做這個數列的通項公式。

2. 等差數列:一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數,這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表示。通項公式an=a1+(n-1)d,前n項和

等比數列:一般地,如果一個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示。通項公式an=a1q (n-1),前n項和

所有項和

3. 求和符號

4. 數列的極限:

設數列,當項數無限增大時,若通項無限接近某個常數,則稱數列收斂于A,或稱A為數列的極限,記作

否則稱數列發散或不存在.

三、函數的極限:在自變量x的某變化過程中,對應的函數值f(x)無限接近于常數A,則稱常數A是函數f(x)當自變量x在該變化過程中的極限。

設f(x)在x>a(a>0)有定義,對任意 >0,總存在X>0,當x>X時,恒有| f(x) A|< ,則稱常數A是函數f(x)當x + 時的極限。記為f(x)=A,或f(x) A(x + )。

運算法則

[f(x) g(x)]= f(x) g(x)

[f(x) g(x)]= f(x) g(x)

,其中g(x) 0.

四、無窮小量與無窮大量

1.若,則稱時的無窮小量。

(若則稱時的無窮大量)。

或:若 (x)=0 ,則稱 (x)當x x0時為無窮小。

在自變量某變化過程中,|f(x)|無限增大,則稱f(x)在自變量該變化過程中為無窮大。記為

2.無窮小量與無窮大量的關系

無窮小量的倒數是無窮大量;無窮大量的倒數是無窮小量。

3.無窮小量的運算性質

(i)有限個無窮小量的代數和仍為無窮小量。

(ii)無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。

(iii)有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量。

4.無窮小的比較

定義:設 (x)=0, (x)=0,

1)若=0,則稱當x x0時 (x)是比 (x)高階無窮小。

2)若= ,則稱當x x0時 (x)是比 (x)低階無窮小。

3)若=C(C 0),則稱當x x0時 (x)與 (x)是同階無窮小,

4)若=1,則稱當x x0時 (x)與 (x)是等價無窮小。

5.常用的等價無窮小為:

當x 0時: sin x x,tan x x,arcsin x x,arctan x x,1 cos x

等價無窮小可代換

五、二項式定理

1. 階乘:  n!=1×2×3×……×n

2. 組合數:從m個不同元素中取出n(n≤m)個元素的所有組合的個數,叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數

3. 二項式定理

六、常用三角函數公式

sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα

sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=—sinα tan(π/2+α)=-cotα

和差化積公式

積化和差公式

萬能公式

典型物理問題

數列極限等應用

1. 螞蟻離開巢穴沿直線爬行,它的速度與到蟻巢中心的距離成反比,當螞蟻爬到距巢中心距離L1=1m的A點處時,速度是V1=2cm/s。 試問螞蟻繼續由A點到距巢中心L2=2m的B點需要多長時間?

2.

常見近似處理

1. 人在岸上以v0速度勻速運動,如圖位置時,船的速度是多少?

2. 如圖所示,頂桿AB可在豎直滑槽K內滑動,其下端由凹輪M推動,凸輪繞O軸以勻角速度ω轉動.在圖示的瞬時,OA=r,凸輪輪緣與A接觸,法線n與OA之間的夾角為α,試求此瞬時頂桿AB的速度.(第十一屆全國中學生物理競賽預賽試題)

3.三個芭蕾舞演員同時從邊長為L的正三角形頂點A,B,C出發,速率都是v,運動方向始終保持著A朝著B,B朝著C,C朝著A。經過多少時間三人相遇?每人經過多少路程?

4. 如圖所示,半徑為R2的勻質圓柱體置于水平放置的、半徑為R1的圓柱上,母線互相垂直,設兩圓柱間動摩擦因數足夠大,不會發生相對滑動,試問穩定平衡時,R1與R2應滿足什么條件?

5.一只狐貍以不變的速度沿著直線AB逃跑,一只獵犬以不變的速率追擊,其運動方向始終對準狐貍.某時刻狐貍在F處,獵犬在D處,FD⊥AB,且FD=L,如圖14—1所示,求獵犬的加速度的大小.

解析:獵犬的運動方向始終對準狐貍且速度大小不變,故獵犬做勻速率曲線運動,根據向心加速度為獵犬所在處的曲率半徑,因為r不斷變化,故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化,題目要求獵犬在D處的加速度大小,由于大小不變,如果求出D點的曲率半徑,此時獵犬的加速度大小也就求得了.

獵犬做勻速率曲線運動,其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時刻開始的一段很短的時間內,獵犬運動的軌跡可近似看做是一段圓弧,設其半徑為R,則加速度

其方向與速度方向垂直,如圖14—1—甲所示.在時間內,設狐貍與獵犬分別 到達,獵犬的速度方向轉過的角度為/R

而狐貍跑過的距離是: 因而/R≈/L,R=L/

所以獵犬的加速度大小為=/L

6.如圖所示,半徑為R,質量為m的圓形繩圈,以角速率繞中心軸O在光滑水平面上勻速轉動時,繩中的張力為多大?

解析 取繩上一小段來研究,當此段弧長對應的圓心角很小時,有近似關系式

若取繩圈上很短的一小段繩AB=為研究對象,設這段繩所對應的圓心角為,這段繩兩端所受的張力分別為(方向見圖14—3—甲),因為繩圈勻速轉動,無切向加速度,所以的大小相等,均等于T.在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運動的向心力,設這段繩子的質量為,根據牛頓第二定律有:

因為段很短,它所對應的圓心角很小所以

將此近似關系和

代入上式得繩中的張力為

7. 在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細管軌道ABC,光滑小球從頂點A處沿斜邊軌道自靜止出發自由地滑到端點C處所需時間,恰好等于小球從頂點A處自靜止出發自由地經兩直角邊軌道滑到端點C處所需的時間.這里假設鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧,可確保小球無碰撞的拐彎,且拐彎時間可忽略不計.

在此直角三角形范圍內可構建一系列如圖14—4中虛線所示的光滑軌道,每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成,交接處都有極小圓弧(作用同上),軌道均從A點出發到C點終止,且不越出該直角三角形的邊界,試求小球在各條軌道中,由靜止出發自由地從A點滑行到C點所經時間的上限與下限之比值.

解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長分別記為

,如圖14—4—甲所示,小球從A到B的時間

記為,再從B到C的時間為,而從A直接沿斜邊到C

所經歷的時間記為,由題意知,可得 =3:4:5,

由此能得的關系.

因為

所以

因為 =3:4,所以

小球在圖14—4—乙中每一虛線所示的軌道中,經各垂直線段所需時間之和為,經各水平段所需時間之和記為,則從A到C所經時間總和為,最短的對應的下限,最長的對應的上限

小球在各水平段內的運動分別為勻速運動,同一水平段路程放在低處運動速度大,所需時間短,因此,所有水平段均處在最低位置(即與BC重合)時最短,其值即為,故=

的上限顯然對應各水平段處在各自可達到的最高位置,實現它的方案是垂直段每下降小量,便接一段水平小量,這兩個小量之間恒有,角即為∠ACB,水平段到達斜邊邊界后,再下降一小量并接一相應的水平量,如此繼續下去,構成如圖所示的微齒形軌道,由于均為小量,小球在其中的運動可處理為勻速率運動,分別所經的時間小量之間有如下關聯:

于是作為之和的上限與作為之和的之比也為的上限必為,即得:

這樣=7:5

求導與微分

一、導數的概念

1.導數定義

設y=f(x)在x0的某鄰域內有定義,在該鄰域內給自變量一個改變量,函數值有一相應改變量,若極限

存在,則稱此極限值為函數y=f(x)在x0點的導數,此時稱y=f(x)在x0點可導,用

表示.

在集合D內處處可導(這時稱f(x)在D內可導),則對任意,相應的導數將隨的變化而變化,因此它是x的函數,稱其為y=f(x)的導函數,記作

.

2.導數的幾何意義

若函數f(x)在點x0處可導,則就是曲線y=f(x)在點(x0,y0)處切線的斜率,此時切線方程為.

=0,曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線平行于x軸,切線方程為.

若f(x)在點x0處連續,又當,此時曲線y=f(x)在點(x0,y0)處的切線垂直于x軸,切線方程為x=x0.

1.幾個基本初等函數的導數

2.導數的四則運算

(1)

(2)

(3)

(4)

二、微分

1.微分的概念

的某鄰域內有定義,若在其中給一改變量,相應的函數值的改變量可以表示為

其中A與無關,則稱點可微,且稱A點的微分,記為

是函數改變量的線性主部.

可微的充要條件是可導,且.當時,可得,因此

由此可以看出,微分的計算完全可以借助導數的計算來完成.

(2)微分的幾何意義 當變到時,函數縱坐標的改變量為,此時過點的切線的縱坐標的改變量為dy.如圖2-1所示.

當dy<時,切線在曲線下方,曲線為凹弧.

當dy>時,切線在曲線上方,曲線為凸弧.

2.微分運算法則

可微,則

三、不定積分

1.不定積分概念

【定義】(原函數) 若對區間I上的每一點x,都有

則稱F(x)是函數f(x)在該區間上的一個原函數.

原函數的特性 若函數f(x)有一個原函數F(x),則它就有無窮多個原函數,且這無窮多個原函數可表示為F(x)+C的形式,其中C是任意常數.

【定義】(不定積分) 函數f(x)的原函數的全體稱為f(x)的不定積分,記作.若F(x)是f(x)的一個原函數,則

2.不定積分的性質

(1)積分運算與微分運算互為逆運算.

(2)

(3)

3.基本積分公式

四、定積分

【定義】(定積分) 函數在區間[a,b]上的定積分定義為

【定理】(牛頓-萊布尼茨公式) 若函數在區間[a,b]上連續,在[a,b]上的一個原函數,則

.

上述公式也稱為微積分基本定理,是計算定積分的基本公式.

常見應用

1. 一石砌堤,堤身在基石上,高為h,寬為b,如圖所示。堤前水深等于堤高h,誰和堤身的單位體積重量分別為q和γ,問欲防止堤身繞A點翻倒,比值b/h應等于多少?

2.一個半徑為四分之一的光滑球面置于水平桌面上.球面上有一條光滑均勻的勻質鐵鏈,一端固定于球面頂點A,另一段恰好與桌面不接觸,且單位長度鐵鏈的質量為p,求鐵鏈A端所受到拉力以及鐵連所受球面的支持力.

3.質量為m的均勻橡皮圈處于自然狀態下的半徑為r1,彈性系數為k。現將它保持水平套在半徑為r2的豎直圓柱上(r2>r1),套上后橡皮圈的質量分布仍是均勻的,橡皮圈與柱面之間的靜摩擦因數為μ。現在圓柱體繞豎直軸轉動起來,如圖所示:問要保持橡皮圈不滑下,圓柱轉動的角速度ω不能超過多少?

常用數學知識匯總

一、三角函數公式

1.兩角和公式

2.二倍角公式

3.半角公式

4.和差化積公式

5.積化和差公式

6.萬能公式

7.平方關系

8.倒數關系

9.商數關系

二、重要公式(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

(7) (8) (9)

(10) (11)

三、下列常用等價無窮小關系(

四、導數的四則運算法則

五、基本導數公式

八、微分公式與微分運算法則

 ⒀

九、微分運算法則

           ⑵

           ⑷

十、基本積分公式

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基本功不牢,源自語文課被“邊緣”.txt

多數學校在招生條件中明確提出,優先錄取那些擁有奧數競賽、物理競賽和化學競賽的...這也表明,數學權重大于語文。 “重理輕文”的選拔導向,導致語文地位的下降。在......

ACM大量習題題庫及建議培養計劃.txt

lang=en 俄羅斯莫斯科物理技術學院 SPOJ https://...pid=1234 中等,《算法藝術與信息學競賽》中的習題 ...id=2764 較難,需要數學方法,該方法在《具體數學》......

學校安全工作述職報告-莆田擢英中學.txt

語文組數學組英語組物理組化學組政治組歷史組地理組生物組體育組藝術組信息技術...機器人知識競賽、滅火操作比賽和機器人海報設計與答辯大賽三個比賽項目中的兩項......

科技發展史不斷證明.txt

正是數學、天文學、地理學、航海技術與造船技術的...接踵而來的,是歐洲工業革命中建立在物理學、化學進步...例如,核技術的發展引起核軍備競賽,從而把雅爾塔體制......

南理工自薦信.txt

高二分科時,因為喜愛物理和化學,我選擇了物化班。...數學競賽雖然距進復賽僅差幾分,但化學競賽的成績給...從小我就喜歡看書,尤其是史書,從中我既拓展了知識......

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